Les fondements de l'apprentissage des mathématiques chez les enfants

1. Compétences mathématiques précoces

Si vous êtes parent, je suis sûr que vous avez parfois pris des mesures disciplinaires qui, bien que difficiles, vous saviez qu’elles aideraient votre enfant à devenir un adulte agréable et globalement respectueux des règles de la société (ou, du moins, de certaines d’entre elles !). En anglais, on dit souvent : “ Mieux vaut le plier tant qu’il n’est qu’une brindille ”. Vous savez que pour que votre enfant ait un avenir épanouissant, il doit apprendre dès son plus jeune âge les leçons de vie essentielles.

De même, vous savez que le fait d'initier votre enfant aux langues, aux instruments de musique et au sport dès son plus jeune âge favorisera son épanouissement et le développement de ses compétences.

Dans le cadre scolaire, le fait d'initier les enfants à la lecture, aux livres et à des conversations qui enrichissent leur vocabulaire les aide à s'épanouir en matière d'alphabétisation, d'expression personnelle et dans toutes les situations de la vie liées aux mots – qui sont en effet nombreuses !

Qu'en est-il des mathématiques ? Quel impact une initiation précoce à des supports pédagogiques et à des activités mathématiques de qualité peut-elle avoir sur l'avenir de votre enfant ? Eh bien, la maîtrise des mathématiques est largement considérée comme la clé de la réussite financière (Duncan et al., 2007), d’un meilleur positionnement socio-économique (Ritchie & Bates, 2013) et d’une meilleure perception des risques pour la santé ainsi que d’une prise de décision médicale plus éclairée (Reyna & Brainerd, 2007). Il s’ensuit donc que le fait de développer de bonnes connaissances et compétences en mathématiques dès le plus jeune âge mettra les enfants sur la bonne voie pour leur avenir.

Dans cet article, nous allons nous intéresser aux aptitudes mathématiques précoces : en quoi consistent-elles ? Pourquoi sont-elles importantes ? Comment permettent-elles finalement à notre enfant de maîtriser ce genre de calculs que vous n’avez jamais réussi à maîtriser vous-même ?

Les compétences mathématiques enseignées dans l'éducation de la petite enfance sont conçues pour permettre aux enfants de s'épanouir à l'école primaire et au-delà. Des recherches ont montré qu’un manque de connaissances en mathématiques dès le plus jeune âge peut entraîner des lacunes qui entraveront la réussite scolaire et persisteront tout au long du parcours scolaire de l’enfant (par exemple, Hornung, Schiltz, Brunner et Martin, 2014 ; Jordan et al., 2010 ; Jordan, Kaplan, Ramineni et Locuniak, 2009 ; Krajewski et Schneider, 2009 ; Lefevre et al., 2010).

Les années de maternelle constituent donc une phase fondamentale. De plus, les compétences mathématiques d’un enfant à cet âge peuvent donner une idée de ce à quoi on peut s’attendre quant à ses futures aptitudes en mathématiques. Mieux encore : les compétences mathématiques précoces se sont également révélées être un indicateur de réussite dans de nombreuses autres matières scolaires ! Elles peuvent ainsi fournir une indication générale de la réussite scolaire future d’un enfant.

Pourquoi les premières années d'apprentissage des mathématiques sont-elles si déterminantes pour la réussite future ? La réponse réside dans la nature hiérarchique des compétences mathématiques. Les compétences de base en calcul acquises dès le plus jeune âge constituent les fondements essentiels sur lesquels reposera l'exploration future des concepts mathématiques.

La résolution de problèmes en est un bon exemple. Pour résoudre le simple calcul 2 + 4, un enfant doit posséder différents niveaux de connaissances préalables sur le système numérique. Par exemple, il doit savoir ce que sont “ 2 ” et “ 4 ” et ce qu’ils représentent. Il doit ensuite comprendre le concept de l’addition et savoir qu’elle est symbolisée par le signe “ + ”.

Sarama et Clements (2004) ont décrit les principaux éléments constitutifs du développement mathématique précoce comme suit :

1) Compétences visuo-spatiales et

2) Compétences en calcul.

1.1. Capacités visuo-spatiales

Le terme “ compétences visuo-spatiales » (VSA) est un concept large, et il n'existe pas de consensus général sur l'ensemble de ses composantes. Certains chercheurs définissent les VSA comme «la manière dont les individus interagissent avec les éléments présentés dans l'espace, qu'ils soient en une, deux ou trois dimensions, ou la manière dont ils s'orientent dans l'espace” (Carroll, 1993, p. 304). D’autres chercheurs le décrivent comme “capacité à représenter, transformer, générer et restituer des informations symboliques et non linguistiques” (Linn et Petersen (1985)). 

Toutefois, indépendamment de leurs définitions respectives, ces deux chercheurs distinguent trois types de VSA : 1) la perception spatiale, 2) la rotation mentale et 3) la visualisation spatiale.

Perception spatiale

La perception spatiale est définie comme la capacité à identifier les relations spatiales par rapport à l’orientation de son corps, indépendamment de toute information susceptible de détourner l’attention. La perception spatiale est essentielle dans la vie quotidienne : c’est grâce à elle que nous évitons de nous cogner contre des murs ou des chaises ! Elle nous permet de prendre conscience de l’endroit où nous nous trouvons et de nous orienter en conséquence. La perception visuelle nous permet de visualiser et d’interpréter les informations visuelles qui nous entourent, ainsi que d’analyser et de donner un sens à ce que nous regardons.

Rotation mentale

La rotation mentale désigne la capacité à faire pivoter des figures en deux ou trois dimensions dans l'espace tout en conservant intactes leurs caractéristiques. Ces tâches font appel à la représentation mentale et à la transformation. Le jeu de société en 3D « Ubongo » en est un bon exemple : les joueurs doivent faire pivoter trois pièces « Ubongo » pour qu'elles s'intègrent parfaitement dans un plan en 2D. 

Visualisation spatiale

La visualisation spatiale exige des manipulations plus complexes et en plusieurs étapes des informations présentées. Ces tâches peuvent intégrer des aspects des deux premières catégories (perception spatiale et rotation mentale). La différence essentielle entre la visualisation spatiale et les deux autres types de VSA réside dans le fait qu’elle est susceptible de nécessiter plusieurs stratégies de résolution. Certaines tâches quotidiennes de visualisation spatiale sont des exercices de figures imbriquées ou des tests de construction de blocs (Linn & Petersen, 1985).

Un autre aspect essentiel du VSA est l’intégration visuo-motrice (VMI). La différence majeure entre la VMI et le VSA réside dans la composante motrice nécessaire à la résolution des tâches respectives (Linn et Petersen, 1985). Les tâches de VMI exigent une coordination entre le traitement des informations visuelles (c'est-à-dire le traitement visuo-spatial) et la production motrice (c'est-à-dire l'activité motrice) (Cameron et al., 2015). La VMI est particulièrement essentielle pour apprendre à peindre, dessiner, copier ou écrire ce que l’on voit. La VSA fait également appel à la mémoire de travail, et la plupart des activités liées à la VSA sollicitent la capacité de mémoire de travail de l’enfant.   

Les compétences spatiales sont régulièrement mises à contribution dans des tâches quotidiennes telles que l'estimation de distances, la lecture de cartes et la résolution de problèmes mathématiques. Si l'on reprend notre exemple « 2 + 4 », l'enfant devrait être capable de percevoir la représentation visuelle des chiffres et du signe, la relation entre les valeurs numériques, ainsi que l'importance que peut revêtir leur position pour résoudre le calcul. Par exemple, dans les séquences 2 – 4 et 4 – 2, les résultats ne seront pas les mêmes si l’on modifie la disposition des chiffres (Fuson, 1988). D’autres exemples illustrant la nécessité de disposer de capacités spatiales pour résoudre des problèmes mathématiques sont la capacité à créer et à faire pivoter des figures géométriques ou à y déceler des régularités (Casey et al., 2015 ; Hermer & Spelke, 1994).

1.2. Connaissances spécifiques aux nombres

Les nombres sont intimement liés à notre vie quotidienne, que ce soit dans le commerce, les achats, la mesure du temps ou la communication de statistiques, pour ne citer que quelques exemples. Mais nous souvenons-nous seulement de la manière dont nous avons appris les nombres ? L'acquisition de la cognition numérique n'a pas été une mince affaire. Nous avons franchi de nombreuses étapes pour acquérir la connaissance des nombres dont nous disposons aujourd’hui. Pour comprendre ce processus, les chercheurs ont élaboré de nombreuses théories.

Plusieurs modèles de cognition numérique ont été élaborés, tels que le modèle des trois codes (TCM) proposé par Dehaene (1992) ou le modèle de développement en quatre étapes de von Aster et Shalev (2007), qui conceptualisent et décrivent différentes façons de représenter la cognition numérique (et les connaissances spécifiques aux nombres qui peuvent en découler), leurs interrelations et leur développement.

Le modèle TCM de la cognition numérique (Dehaene, 1992) repose sur l'existence de trois codes de représentation principaux (illustrés à la figure 1.1). Pour les nombres, il s'agit d'une représentation analogique de la grandeur (par exemple ***), d'une représentation auditive verbale du nombre (par exemple, “ trois ”) et d'une représentation visuelle par des chiffres arabes (par exemple, 3). Même si le modèle des trois codes a sans doute été le modèle le plus influent en matière de cognition numérique, il ne permet toujours pas d’éclairer les aspects liés au développement, c’est-à-dire la manière dont les enfants acquièrent la cognition numérique. Ce modèle montre comment nous représentons les nombres et suppose que les trois « codes » fonctionnent en parallèle ou simultanément. Cependant, ce modèle n’explique pas comment nous apprenons ces représentations. Il n’indique pas si nous acquérons ces codes simultanément ou l’un après l’autre.

Von Aster et Shalev (2007) ont proposé un modèle de développement de la cognition numérique en quatre étapes qui s’appuie en partie sur le modèle des trois codes de Dehaene (Dehaene, 1992). Ce modèle déconstruit le parcours de développement des différentes représentations des nombres et se prête donc particulièrement bien à une description exhaustive permettant de mieux comprendre le développement numérique des jeunes élèves. Ces représentations se développent de manière quasi-hiérarchique, chaque étape s’appuyant sur la précédente. Par exemple, Dehaene, von Aster et Shalev (2007) ont établi une distinction entre la représentation sémantique et la représentation symbolique (verbale et arabe) des nombres. Il convient de noter que von Aster et Shalev ont subdivisé le système numérique sémantique en deux composantes : un système central précoce et implicite de magnitude (étape 1 du modèle présenté à la figure 1.2) et une représentation explicite, plus tardive, d’une droite numérique mentale (étape 4).

Le graphique montre que le développement de la cognition numérique, qui mènera à l’acquisition de connaissances mathématiques, dépend de nombreux facteurs. Il dépend des capacités de l’individu (sa mémoire de travail). Il dépend également de la zone cérébrale qui sera activée (pour l’étape 1, il s’agit du lobe bipariétal). Vient ensuite la capacité à apprendre comment cela est représenté sur le plan cognitif. Enfin, il y a les étapes. Si l’on examine l’étape 1, on constate qu’elle correspond à la petite enfance. C’est à ce stade que s’effectue l’apprentissage des comparaisons (cardinalité). Les enfants se forgent une image mentale de ces comparaisons, et dès qu’une tâche de comparaison se présente, par exemple lorsque le père demande à l’enfant de prendre le sac contenant le plus de pommes, les enfants activent ces connaissances pour accomplir la tâche.

Ce n'est qu'après avoir franchi l'étape 2, au cours de laquelle l'enfant apprend le système numérique verbal (à savoir que l'on utilise des chiffres pour compter et qu'ils ont des noms : un, deux, trois), et l'étape 3 (à savoir que l'on représente ces mots numériques par des symboles : 1, 2 et 3), que l'enfant comprendra l'ordre. Que le 1 viendra toujours avant le 2 et que le 3 viendra toujours après le 2 (étape 4 – l’ordinalité). La droite numérique mentale (ordinalité) se développera donc progressivement, en s’appuyant sur les modes antérieurs de représentation de la grandeur numérique à l’aide de symboles verbaux et arabes, ainsi que sur les capacités croissantes du domaine des aptitudes générales de la personne (par exemple, la mémoire de travail).

En résumé, nous avons abordé l'importance des années préscolaires dans la mise en place des bases sur lesquelles les compétences mathématiques continueront à se construire, et donc l'importance de développer dès le plus jeune âge des compétences en mathématiques. Nous avons également mis en évidence les prémices des connaissances mathématiques. Nous avons proposé un cadre de référence pour les différents types de connaissances dont les enfants doivent disposer et qu’ils doivent donc acquérir au cours de la petite enfance, avant leur entrée à l’école.

Cela signifie-t-il que mon enfant est désormais capable de résoudre ces problèmes complexes de calcul différentiel et intégral dont nous avons parlé au début de cet article ? Pas si vite ! Nous avons vu qu’il existe de nombreuses étapes pour acquérir les bases du calcul : la cardinalité, le système numérique verbal, le système arabe, puis l’ordinalité. Pour maîtriser les bases des mathématiques, il faut fournir beaucoup d’efforts, et il faut plusieurs années de travail acharné pour maîtriser la cognition numérique… Vous pouvez imaginer qu’il en va de même pour le calcul différentiel et intégral. Après avoir appris que les mathématiques consistent principalement en des nombres, pour aborder le calcul différentiel et intégral, les enfants devront “ désapprendre ” un peu les mathématiques, dans le sens où ils verront ceci :

x + y = 14

et se demandent : « Qui a mis des lettres dans cette équation, alors qu'on apprend les maths ? »

On abordera le calcul différentiel et intégral une fois que les enfants maîtriseront les bases du calcul ! Pas à pas, avec entre chaque étape de nombreux exercices et activités pour consolider leurs acquis !

Références :

• Linn, M. C., & Petersen, A. C. (1985). Apparition et caractérisation des différences entre les sexes en matière de capacités spatiales : une méta-analyse. Source : Child Development, 56(6), 1479–1498. Extrait de http://www.jstor.org/stable/1130467
• Pazouki, Tahereh. Magrid – du développement d’une application d’apprentissage indépendante de la langue à l’analyse prédictive de l’apprentissage. Thèse de doctorat (2020)
• Sarama, J., & Clements, D. H. (2004). Les fondements des mathématiques dans la petite enfance. Early Childhood Research Quarterly. https://doi.org/10.1016/j.ecresq.2004.01.014
• Von Aster, M., & Shalev, R. S. (2007). Développement du concept numérique et dyscalculie développementale. Developmental Medicine & Child Neurology.