Die Grundlagen des Mathematikunterrichts für Kinder

1. Frühe mathematische Fähigkeiten

Wenn Sie Eltern sind, haben Sie sicher schon gelegentlich Erziehungsmaßnahmen ergriffen, von denen Sie – auch wenn sie Ihnen schwerfielen – wussten, dass sie Ihr Kind dazu anleiten würden, ein angenehmer Erwachsener zu werden, der die Regeln der Gesellschaft (oder zumindest einige davon!) im Allgemeinen respektiert. Im Englischen sagen wir oft: “Man sollte den Zweig biegen, solange er noch biegsam ist.” Sie wissen, dass Ihr Kind von klein auf wichtige Lektionen fürs Leben lernen muss, um eine erfüllte Zukunft zu haben.

Ebenso wissen Sie, dass es der Entwicklung und der Förderung der Fähigkeiten Ihres Kindes zugutekommt, wenn Sie es schon in jungen Jahren an Sprachen, Musikinstrumente und Sport heranführen.

Im schulischen Kontext trägt es dazu bei, dass Kinder sich in den Bereichen Lese- und Schreibkompetenz, Selbstdarstellung und allen Lebensbereichen, die mit Worten zu tun haben – und das sind in der Tat viele! –, gut entwickeln, wenn sie mit Büchern, dem Lesen und Gesprächen, die ihren Wortschatz erweitern, in Kontakt kommen.

Wie sieht es mit Mathematik aus? Welchen Einfluss hat der frühzeitige Umgang mit fundierten mathematischen Lernmaterialien und -aktivitäten auf die Zukunft Ihres Kindes? Nun, mathematische Kompetenz gilt weithin als Schlüssel zu finanziellem Erfolg (Duncan et al., 2007), einer besseren sozioökonomischen Position (Ritchie & Bates, 2013) sowie einem besseren Verständnis von Gesundheitsrisiken und medizinischer Entscheidungsfindung (Reyna & Brainerd, 2007). Daraus folgt, dass die Vermittlung guter mathematischer Kenntnisse und Fähigkeiten bereits im frühen Kindesalter Kinder auf den richtigen Weg für ihre Zukunft bringt.

In diesem Artikel beschäftigen wir uns mit frühen mathematischen Fähigkeiten: Was sind das? Warum sind sie wichtig? Und wie führen sie letztendlich dazu, dass unser Kind genau jene Art von Differentialrechnung beherrscht, die Sie selbst nie gemeistert haben?

Die in der frühkindlichen Bildung vermittelten mathematischen Fähigkeiten sollen den Kindern den Weg ebnen, damit sie in der Grundschule und darüber hinaus erfolgreich sein können. Untersuchungen haben gezeigt, dass mangelnde mathematische Kenntnisse von Anfang an zu Lücken führen können, die den Erfolg behindern und sich über die gesamte Bildungslaufbahn eines Kindes hinweg fortsetzen können (z. B. Hornung, Schiltz, Brunner & Martin, 2014; Jordan et al., 2010; Jordan, Kaplan, Ramineni & Locuniak, 2009; Krajewski & Schneider, 2009; Lefevre et al., 2010).

Daher sind die Vorschuljahre eine entscheidende Phase. Zudem können die mathematischen Fähigkeiten eines Kindes in diesem Alter Aufschluss darüber geben, was von seinen zukünftigen mathematischen Fähigkeiten zu erwarten ist. Mehr noch: Frühe mathematische Fähigkeiten sind auch ein Indikator für den Lernerfolg in vielen anderen Schulfächern! Somit können sie einen allgemeinen Hinweis auf den zukünftigen schulischen Erfolg eines Kindes geben.

Warum sind die ersten Jahre der mathematischen Entwicklung so entscheidend für den späteren Erfolg? Die Antwort liegt in der hierarchischen Struktur mathematischer Fähigkeiten. Die grundlegenden Rechenfertigkeiten, die in jungen Jahren erlernt werden, bilden die entscheidenden Bausteine, auf denen die spätere Auseinandersetzung mit mathematischen Konzepten aufbaut.

Ein typisches Beispiel hierfür ist das Lösen von Aufgaben. Um die einfache Rechnung 2+4 zu lösen, muss ein Kind über unterschiedliche Ebenen an Vorwissen über das Zahlensystem verfügen. Zum Beispiel muss ein Kind wissen, was “2” und “4” sind und wofür sie stehen. Dann muss es das Konzept der Addition verstehen und wissen, dass diese durch das Symbol “+” dargestellt wird.

Die wichtigsten Bausteine der frühen mathematischen Entwicklung wurden von Sarama und Clements (2004) wie folgt beschrieben:

1) Visuell-räumliche Kompetenzen und

2) Zahlenverständnis.

1.1. Visuell-räumliche Fähigkeiten

Der Begriff “visuell-räumliche Fähigkeiten“ (VSA) ist sehr weit gefasst, und hinsichtlich seiner einzelnen Teilkomponenten herrscht kaum Einigkeit. Einige Forscher definieren VSA als „wie Menschen mit im Raum präsentierten Objekten umgehen, sei es in einer, zwei oder drei Dimensionen, oder wie sie sich im Raum orientieren” (Carroll, 1993, S. 304). Andere Forscher beschreiben es als “Fähigkeit, symbolische, nichtsprachliche Informationen darzustellen, umzuwandeln, zu erzeugen und abzurufen” (Linn und Petersen (1985)). 

Ungeachtet ihrer unterschiedlichen Definitionen unterscheiden beide Forscher jedoch zwischen drei Arten von VSAs: 1) räumliche Wahrnehmung, 2) mentale Rotation und 3) räumliche Visualisierung.

Räumliche Wahrnehmung

Unter räumlicher Wahrnehmung versteht man die Fähigkeit, räumliche Beziehungen in Bezug auf die eigene Körperausrichtung zu erkennen, unabhängig von ablenkenden Informationen. Die räumliche Wahrnehmung ist im Alltag unverzichtbar – sie ist die Fähigkeit, die wir nutzen, um nicht gegen Wände oder Stühle zu stoßen! Sie macht uns bewusst, wo wir stehen, und hilft uns dabei, uns entsprechend zu orientieren. Die visuelle Wahrnehmung ermöglicht es uns, die visuellen Informationen um uns herum zu erfassen und zu interpretieren sowie das, was wir sehen, zu analysieren und zu verstehen.

Mentale Rotation

Unter mentaler Rotation versteht man die Fähigkeit, zwei- oder dreidimensionale Figuren im Raum zu drehen, ohne dass dabei die Merkmale der Figur verändert werden. Solche Aufgaben sprechen die mentale Repräsentation und Transformation an. Ein gutes Beispiel für mentale Rotation ist das 3D-Brettspiel „Ubongo“, bei dem die Spieler drei Ubongo-Steine so drehen müssen, dass sie perfekt in eine 2D-Ebene passen. 

Räumliche Visualisierung

Die räumliche Visualisierung erfordert komplexere und mehrstufige Verarbeitungsprozesse der vorgelegten Informationen. Diese Aufgaben können Aspekte der ersten beiden Kategorien (räumliche Wahrnehmung und mentale Rotation) vereinen. Der entscheidende Unterschied zwischen der räumlichen Visualisierung und den beiden anderen Arten der visuellen räumlichen Analyse (VSA) besteht darin, dass sie wahrscheinlich mehrere Lösungsstrategien erfordert. Einige alltägliche Aufgaben der räumlichen Visualisierung sind Aufgaben mit eingebetteten Figuren oder Blockbau-Tests (Linn & Petersen, 1985).

Ein weiterer entscheidender Aspekt der VSA ist die visuell-motorische Integration (VMI). Der wesentliche Unterschied zwischen VMI und VSA liegt in der motorischen Komponente, die zur Lösung der jeweiligen Aufgaben erforderlich ist (Linn und Petersen (1985)). VMI-Aufgaben erfordern die Koordination zwischen der Verarbeitung visueller Reize (d. h. der visuell-räumlichen Verarbeitung) und der motorischen Ausführung (d. h. der motorischen Aktivität) (Cameron et al., 2015). VMI ist besonders wichtig, um zu lernen, wie man das Gesehene malt, zeichnet, kopiert oder schreibt. VSA greift zudem auf das Arbeitsgedächtnis zurück, und die meisten VSA-bezogenen Aktivitäten erfordern die Arbeitsgedächtniskapazität des Kindes.   

Räumliche Fähigkeiten kommen regelmäßig bei alltäglichen Aufgaben zum Einsatz, wie zum Beispiel beim Abschätzen von Entfernungen, beim Lesen von Karten und beim Lösen von mathematischen Aufgaben. Nehmen wir unser Beispiel „2+4“: Das Kind sollte in der Lage sein, die visuelle Darstellung der Zahlen und des Symbols wahrzunehmen, die Beziehung zwischen den Zahlenwerten zu erkennen und zu verstehen, inwiefern deren Position für die Lösung der Rechenaufgabe von Bedeutung sein kann. Beispielsweise sind bei den Mustern „2 – 4“ und „4 – 2“ die Ergebnisse nicht identisch, wenn sich die Anordnung der Zahlen ändert (Fuson, 1988). Weitere Beispiele für die Notwendigkeit räumlicher Fähigkeiten zur Lösung mathematischer Probleme sind die Fähigkeit, geometrische Formen zu erstellen und zu drehen oder Muster in ihnen zu erkennen (Casey et al., 2015; Hermer & Spelke, 1994).

1.2. Zahlenspezifisches Wissen

Zahlen sind untrennbar mit unserem Alltag verbunden – sei es beim Handel, beim Einkaufen, bei der Zeitmessung oder bei der Vermittlung statistischer Daten, um nur einige Beispiele zu nennen. Doch erinnern wir uns überhaupt noch daran, wie wir die Zahlen gelernt haben? Das Erlernen der Zahlenkognition war keine einfache Aufgabe. Wir haben viele Schritte durchlaufen, um das Wissen über Zahlen zu erlangen, über das wir heute verfügen. Um diesen Prozess zu verstehen, haben Forscher zahlreiche Theorien entwickelt.

Es wurden verschiedene Modelle der numerischen Kognition entwickelt, wie beispielsweise das von Dehaene (1992) vorgeschlagene „Triple Code Model“ (TCM) oder das vierstufige Entwicklungsmodell von von Aster und Shalev (2007), die verschiedene Arten der Repräsentation numeraler Kognition (und des daraus ableitbaren zahlspezifischen Wissens), deren Wechselbeziehungen sowie deren Entwicklung konzeptualisieren und beschreiben.

Das TCM-Modell der numerischen Kognition (Dehaene, 1992) basiert auf der Annahme, dass es drei primäre Repräsentationscodes gibt (siehe Abbildung 1.1). Für Zahlen umfasst dies eine analoge Größenrepräsentation (z. B. ***), eine auditive verbale Zahlenrepräsentation (z. B. “drei”) und eine visuelle arabische Zahlenrepräsentation (z. B. 3). Auch wenn das Dreifach-Code-Modell wahrscheinlich das einflussreichste Modell der numerischen Kognition war, gibt es dennoch keinen Aufschluss über Informationen zu Entwicklungsaspekten, d. h. darüber, wie Kinder numerische Kognition erlernen. Dieses Modell zeigt, wie wir Zahlen repräsentieren, und geht davon aus, dass die drei „Codes“ parallel oder gleichzeitig funktionieren. Das Modell zeigt jedoch nicht, wie wir solche Repräsentationen erlernen. Es gibt keinen Hinweis darauf, ob wir solche Codes gleichzeitig oder nacheinander erwerben.

Von Aster und Shalev (2007) haben ein vierstufiges Entwicklungsmodell der numerischen Kognition vorgestellt, das sich teilweise auf Dehaenes Dreifach-Code-Modell stützt (Dehaene, 1992). Es analysiert den Entwicklungsverlauf verschiedener Repräsentationen von Zahlen und eignet sich daher gut, um eine umfassende Beschreibung zu liefern, die das Verständnis der numerischen Entwicklung junger Schüler fördert. Diese Repräsentationen entwickeln sich quasi-hierarchisch, wobei jeder Schritt auf dem vorhergehenden aufbaut. So unterschieden beispielsweise Dehaene, von Aster und Shalev (2007) zwischen semantischer und symbolischer (verbaler und arabischer) Zahlenrepräsentation. Insbesondere unterteilten von Aster und Shalev das semantische Zahlensystem weiter in zwei Komponenten: ein frühes, implizites Kernsystem der Größenordnung (Schritt 1 im in Abbildung 1.2 dargestellten Modell) und eine spätere, explizite Repräsentation einer mentalen Zahlenreihe (Schritt 4).

Die Grafik zeigt, dass die Entwicklung der numerischen Kognition, die zu mathematischem Wissen führt, von vielen Faktoren abhängt. Sie hängt von den Fähigkeiten des Einzelnen (seinem Arbeitsgedächtnis) ab. Sie hängt davon ab, welcher Hirnbereich aktiviert wird (bei Schritt 1 ist dies der biparientale Bereich). Dann kommt die Fähigkeit hinzu, zu lernen, wie dies kognitiv dargestellt wird. Schließlich gibt es noch die einzelnen Schritte. Wenn man sich Schritt 1 ansieht, stellt man fest, dass es sich um die Säuglingsphase handelt. Dort befindet man sich an dem Punkt, an dem Vergleiche (Kardinalität) erlernt werden. Kinder bilden sich ein mentales Bild von Vergleichen, und sobald eine Vergleichsaufgabe auftritt – etwa wenn der Vater das Kind bittet, die Tüte mit den meisten Äpfeln zu nehmen –, aktivieren die Kinder dieses Wissen, um die Aufgabe zu lösen.

Erst nachdem das Kind Schritt 2 durchlaufen hat – in dem es das verbale Zahlensystem lernt (dass wir Zahlen zum Zählen verwenden und diese Namen haben: eins, zwei, drei) – und Schritt 3 (dass wir diese Zahlwörter durch Symbole darstellen: 1, 2 und 3), wird es die Reihenfolge verstehen. Dass die 1 immer vor der 2 kommt und die 3 immer nach der 2 (Schritt 4 – Ordinalität). Die mentale Zahlenreihe (Ordinalität) entwickelt sich daher schrittweise und stützt sich dabei auf frühere Darstellungsweisen der Zahlengröße mit verbalen und arabischen Symbolen sowie auf die wachsenden Fähigkeiten im Bereich der allgemeinen Fähigkeiten der Person (z. B. Arbeitsgedächtnis).

Zusammenfassend haben wir die Bedeutung der Vorschuljahre für die Schaffung einer Grundlage erörtert, auf der mathematische Fähigkeiten weiter ausgebaut werden können, und damit auch die Wichtigkeit der frühzeitigen Förderung mathematischer Kompetenzen hervorgehoben. Zudem haben wir die Vorläufer mathematischen Wissens herausgearbeitet. Wir haben einen Rahmen für die verschiedenen Arten von Wissen geschaffen, über die Kinder verfügen müssen und die ihnen daher in den Vorschuljahren und im Vorfeld der formalen Schulbildung vermittelt werden müssen.

Bedeutet das, dass mein Kind nun in der Lage ist, jene komplexen Differentialrechenaufgaben zu lösen, die wir zu Beginn dieses Blogs erwähnt haben? Nicht so schnell! Wir haben gelernt, dass es viele Schritte zum Erlernen grundlegender Rechenfertigkeiten gibt – Kardinalzahlen, das verbale Zahlensystem, das arabische Zahlensystem und schließlich Ordinalzahlen. Um die Grundlagen der Mathematik zu erlernen, muss man sich sehr anstrengen, und es dauert einige Jahre harter Arbeit, bis man die numerische Kognition beherrscht … Sie können sich vorstellen, dass das bei der Analysis genauso ist. Nachdem die Kinder gelernt haben, dass Mathematik hauptsächlich aus Zahlen besteht, werden sie für die Analysis ein wenig Mathematik “verlernen”, in dem Sinne, dass sie Folgendes erkennen werden:

x + y = 14

und fragen sich: Wer hat diese Gleichung mit Buchstaben versehen, wenn wir doch Mathematik lernen?

Lasst uns über Analysis sprechen, sobald die Kinder die Grundkenntnisse im Rechnen beherrschen! Schritt für Schritt und dazwischen – viele, viele Übungen und Aufgaben zur Festigung des Wissens!

Quellenangaben:

• Linn, M. C., & Petersen, A. C. (1985). Entstehung und Charakterisierung geschlechtsspezifischer Unterschiede in der räumlichen Vorstellungskraft: Eine Metaanalyse. Quelle: Child Development, 56(6), 1479–1498. Abgerufen unter http://www.jstor.org/stable/1130467
• Pazouki, Tahereh. Magrid – von der Entwicklung einer sprachneutralen Lernanwendung bis hin zu prädiktiven Lernanalysen. Doktorarbeit (2020)
• Sarama, J., & Clements, D. H. (2004). Bausteine für die Mathematik in der frühen Kindheit. Early Childhood Research Quarterly. https://doi.org/10.1016/j.ecresq.2004.01.014
• Von Aster, M., & Shalev, R. S. (2007). Zahlenentwicklung und entwicklungsbedingte Dyskalkulie. Developmental Medicine & Child Neurology.